Применение диаграмм Венна и теории вероятностей в клинических исследованиях

Статистика — это наука, объектом изучения которой являются сбор, обобщение, представление и интерпретация данных для оценки силы ассоциаций и проверки гипотез [1]. В настоящее время статистические методы играют ключевую роль в медицинских и биологических исследованиях. Поэтому понимание и применение базовых подходов к анализу данных являются необходимыми навыками для всех врачей и исследователей. Однако большинство специалистов в области здравоохранения в России не имеют практически никакой математической подготовки и обладают крайне ограниченным пониманием статистики, что зачастую приводит к неверной и некритичной интерпретации публикуемых медицинских данных, а также неспособности организовать и провести собственные исследования и проанализировать их результаты должным образом. В связи с этим мы решили опубликовать цикл статей, составляющих введение в курс биомедицинской статистики.

Этот курс изначально был разработан для обучающихся по программам магистратуры и PhD Университетского колледжа Лондона, а позднее адаптирован для студентов и обучающихся по программам постдипломного образования Сеченовского Университета. Основная цель курса — практическое применение полученных знаний, поэтому основное внимание в статьях будет уделено наиболее важным математическим концепциям
и статистическим методам, которые необходимы для критического понимания современных клинических исследований, а также подготовки публикаций, соответствующих требованиям высокорейтинговых медицинских журналов.

Мы настоятельно рекомендуем читателям научиться самостоятельно представлять полученные данные в адекватной форме, использовать базовые статистические тесты и интерпретировать полученные результаты без помощи профессионального статистика. Однако мы также включили в этот курс описание более сложных статистических методов, таких как алгоритмы машинного обучения, для того чтобы познакомить читателей с возможными областями их применения. Еще одной целью этого курса является обеспечение эффективного сотрудничества между врачами и статистиками для разработки рационального дизайна клинических исследований, формулирования реалистичных целей, выбора оптимальных подходов и адекватной интерпретации результатов исследования. Все методы, обсуждаемые в статьях, могут быть использованы в любых статистических программах, как коммерческих (SPSS, Stata, SAS, MatLab и др.), так и бесплатных (R).

Материал подготовлен с учетом отсутствия математической подготовки у большинства читателей. Однако в курсе будут в упрощенном виде представлены некоторые математические концепции и формулы, поскольку, с точки зрения авторов, это наиболее подходящий способ представления идей, лежащих в основе методов статистического анализа данных. Курс представлен на русском и английском языках, чтобы познакомить читателей с наиболее часто используемыми в научных публикациях терминами.

Первая статья посвящена основам теории множеств и теории вероятностей и проиллюстрирована примерами с использованием диаграмм Венна.

ДИАГРАММЫ ВЕННА

Диаграммы Венна, также известные как диаграммы множеств, часто используют для иллюстрации логических взаимосвязей между двумя и более наборами данных в публикациях, освещающих результаты клинических и эпидемиологических исследований. Диаграмма Венна состоит из частично перекрывающих друг друга окружностей или других замкнутых кривых, демонстрирующих взаимосвязь и группировку множеств данных, которые могут быть общими для различных выборок или не пересекаться. Диаграммы Венна впервые были представлены Джоном Венном, преподавателем гуманитарных наук в Caius College Кембриджского университета, в статье под названием «О схематическом и механическом представлении суждений и рассуждений», опубликованной в 1880 г. [2]. Примечательно, что если проследить историю использования методов визуализации в области формальной логики, можно обнаружить, что диаграммы, ассоциируемые с именем Венна, по всей видимости, впервые были созданы существенно раньше [3]. Чтобы больше узнать об истории диаграмм Венна, читатели могут обратиться к другим публикациям [4].

По мере накопления знаний о сложности физиологических и молекулярных процессов все большее значение приобретает анализ мультиомики и больших данных (Big Data). Возрастает потребность разработки новых методов одновременной оценки большого числа наборов данных [5], в связи с чем даже классические методы визуализации, такие как диаграммы Венна, претерпели дальнейшее развитие. В настоящее время диаграммы Венна широко используют в клинических исследованиях, в частности для изучения микробиома [6] или обструктивных заболеваний легких [7], другой сферой их применения являются генетические исследования [8]. Графическое отображение взаимодействий легко воспринимается, поскольку отражает логические взаимосвязи и пересечения множеств.

В настоящее время для работы с четырьмя независимыми наборами данных доступны многочисленные онлайн-программы для построения диаграмм Венна, например генератор диаграмм Венна Pangloss¹ или Venny² . Эти программы весьма удобны в применении, однако создают лишь изображения без значимой сопутствующей информации. BioVenn [9] является примером программ, позволяющих создавать диаграммы пропорциональной площади и проводить их анализ. Программы GeneVenn³ и VennMaster⁴ обладают дополнительной функцией привязки генов в каждой группе к ассоциированной информации в базах данных NCBI Entrez Nucleotide и Gene Ontology, однако в них можно проводить анализ лишь двух или трех панелей генов [8][10].

Для баз данных микрочипов можно использовать специально разработанные для этих целей программы GeneSpring и SilicoCyte, в которых возможно и построение диаграмм Венна. Визуализация пересечений может создавать проблемы при работе с более чем тремя выборками из-за возможных нарушений симметрии изображений. Сам Венн в подобных случаях использовал дополнительные эллипсы, которые пересекались с основными окружностями [2]. Впоследствии A.W.F. Edwards разработал элегантный метод изображения диаграмм, включающих большее число множеств, с использованием необычных типов симметрии [11]. Далее представлен пример создания диаграмм Эдвардса — Венна, который можно с легкостью провести в свободно доступной программе VENNTURE⁵ [5].

Используя программу VENNTURE, создадим диаграмму Эдвардса — Венна для абстрактного примера. Давайте представим, что в городе есть шесть аптек, которые могут продавать 26 наименований препаратов, и их можно обозначить буквами английского алфавита. Однако в ассортименте каждой аптеки может быть только 20 различных препаратов в связи с ограниченным местом хранения на складе. Предположим, что препараты были случайным образом распределены между аптеками. Используя диаграммы Венна, можно проанализировать, как именно они были распределены. Этот процесс изображен на рисунке 1 для 2 (A), 3 (B), 5 (C) и 6 (D) наборов данных, представляющих ассортимент препаратов в соответствующих аптеках. На рисунке 1A видно, что в обеих аптеках есть в наличии 15 препаратов, поскольку они попадают в пересечение наборов, обозначенных красным (первая аптека) и синим (вторая аптека) цветами. А пять препаратов есть в наличии только в одной из них. Предложенный метод визуализации позволяет отобразить до 6 наборов данных. Например, из рисунка 1B понятно, что препарат «O» можно найти только в первой аптеке, в то время как 10 препаратов продаются во всех трех исследуемых аптеках. Также становится понятно, что шесть препаратов можно найти в пяти аптеках (рис. 1C), а во всех шести аптеках — только пять препаратов (рис. 1D), поскольку в пересечение всех шести множеств попали только буквы «DFGSZ».

РУКОВОДСТВО: ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ДИАГРАММЫ ВЕННА

Диаграммы Венна легче понять, если рассмотреть их связь с теорией вероятностей и теорией множеств. Вероятность — это способ выразить представление о каком-либо событии, которое произошло или может произойти. Любой процесс наблюдения событий в реальном мире можно назвать «экспериментом». Результаты эксперимента — это его исходы. В целом концепция вероятности нужна для формализации принципов получения данных в наблюдениях. Любая модель, описанная в терминах вероятности («идеальный мир» модели), может быть изучена с помощью математических свойств, позволяющих понять закономерности и предсказать некоторые события, которые могут произойти в будущем или в других условиях (например, в клинических исследованиях). Статистика, напротив, изучает частоту уже произошедших в реальных условиях событий (например, ретроспективные данные или клинические исследования), чтобы оценить вероятность наблюдаемых событий и создать или протестировать подходящую модель вероятности.

Чтобы дать математическое определение вероятности, необходимо обозначить множество S, включающее в себя все возможные результаты эксперимента. Элемент «s» множества S называют элементарным событием. Пространство элементарных событий S называют:

• дискретным, если оно состоит из конечного числа элементарных событий;
• исчислимым, если все его элементы можно сопоставить с последовательностью положительных целых чисел (1, 2, 3, 4, …);
• непрерывным, если все элементарные события составляют континуум;
• пустым или нулевым множеством, если множество не содержит элементов; подобные множества обозначают символом Ø.

Над множествами можно выполнять ряд операций, результаты которых можно отобразить с помощью диаграмм Венна (рис. 2).

Объединение (рис. 2A)

FIG. 2. Venn diagram are represented in blue: a union of events A and B, shown by two circles (A); an intersection of events A and B (B); complement to event A denoted Ā (C); and a symmetric difference of A and B (D).
РИС. 2. Диаграммы Венна, на которых синим цветом обозначено: объединение A и B, представленных двумя окружностями (A); пересечение A и B (B); событие, противоположное A, обозначаемое Ā (C); симметричная разность A и B (D).

События A и B в множестве S можно объединить, получив в результате более крупное событие. Объединение A ⋃ B возникает, когда случается одно событие или оба:

A ⋃ B = {все исходы в А или в В или в А и В вместе}

Если мы наблюдаем некое число событий Ei, равное n (где i — число от 1 до n), их объединение обозначают:

Объединение обладает следующими свойствами:

1. Объединение события A с пустым множеством равно событию A (закон тождества):

A ⋃ Ø = А

2. Объединение события A с самим собой равно событию A (закон идемпотентности/одинаковости):

A ⋃ A = А

3. Объединение события A с пространством элементарных событий равно пространству элементарных событий, или, иными словами, пространство элементарных событий доминирует над отдельным событием (закон доминирования):

A ⋃ S = S

4. Объединение событий A и B равно объединению событий B и A (коммутативный/переместительный закон):

A ⋃ B = B ⋃ А

Примеры:

1.1. Результаты подбрасывания монеты можно обозначить как A, если выпадает орел (A = {О}), и B, если выпадает решка (B = {Р}). Объединение событий A и B будет включать в себя два элемента — выпадение и орлов, и решек (A ⋃ B = {О, Р}) и фактически равно всему пространству элементарных событий для данной модели.

1.2. Если обозначить результаты броска игральной кости при выпадении 1, 3 и 4 как событие E (E = {1,3,4}) а при выпадении 1, 2 и 3 как событие F (F = {1,2,3}), объединение событий E и F будет равно 1,2,3,4 (E ⋃ F = {1,2,3,4}). Обратите внимание, что результаты 1 и 3 присутствуют в обоих событиях, но при объединении учитываются лишь однократно.

1.3. При игре в рулетку объединение всех нечетных результатов будет равно S = {0} ⋃ {1,3, …, 33}.

Пересечение (рис. 2B)

Пересечение событий A ∩ B позволяет создать новое событие, которое объединяет элементы, входящие одновременно и в A, и в B и возникающее, когда одновременно происходят события A и B.

A ∩ B = {все исходы и в А и в В}

Пересечение некоторого числа событий Ei, равного n (где i — число от 1 до n) обозначают:

Комплементарное (противоположное) событие и симметричная разность (рис. 2C и D)

Событие, противоположное A, или событие «не A» (обозначается Ā) включает в себя все исходы, которые не входят в A (рис. 2C). Развитием идеи комплементарного события является симметричная разность, которая для множеств A и B представляет все события в A, не входящие в B, и все события в B, не входящие в A (рис. 2D):

A Δ B = (A\B) ⋃ (B\A)

РУКОВОДСТВО: РАЗБИЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ

Используя две базовые операции, объединение и пересечение, можно выполнить разбиение пространства элементарных событий. Если пересечение событий A и B равно нулю (A ∩ B = Ø), эти события являются взаимоисключающими (несовместными). Взаимоисключающие события не могут происходить одновременно, или, другими словами, у этих множеств нет общих элементов. События называют исчерпывающими, если они включают в себя все возможные исходы (подобно событиям A и B в примере 1.1 с монетой). Если события E₁, E₂,…, E_n взаимоисключающие и исчерпывающие, они формируют разбиение пространства элементарных событий (рис. 3).

FIG. 3. Events E₁–E₆ form the partition of the sample space.
РИС. 3. События E₁–E₆ образуют разбиение пространства элементарных событий.

Теория множеств позволяет интерпретировать различные ситуации, возникающие в реальном мире. А некоторые операции позволяют проследить взаимосвязи между терминологией теории вероятностей и теории множеств (табл. 1).

Таблица 1. Эквиваленты операций над множествами в теории вероятностей
Table 1. Summary of set operations and probability equivalents

РУКОВОДСТВО: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятность — мера количественной оценки возможности того, что событие произойдет. Возможны несколько интерпретаций вероятности. Первый подход — частотная оценка, которую получают путем вычисления доли случаев, в которых произошло некое событие, в долгосрочных сериях наблюдения при повторных экспериментах. Однако классическая интерпретация, предложенная российским математиком А.Н. Колмогоровым, определяет вероятность как величину, в равной степени распределенную между всеми возможными исходами. Таким образом, вероятность события — это доля от общего числа возможных исходов, в которых наступает исследуемое событие. Например, бросок монеты может привести лишь к двум возможным исходам: выпадению орла или решки, при этом вероятность каждого из этих событий равна 0,5.

Частотный подход к оценке вероятности (частотная вероятность) может быть проиллюстрирован следующим примером.

Предположим, что мы повторяем эксперимент N раз в абсолютно идентичных условиях. Событие A может произойти при каждом повторении эксперимента. Таким образом, если среди N наблюдений исход А наблюдали N(A) раз, то отношение N(A)/N стремится к вероятности этого события, поскольку N стремится к бесконечности:

В представленном примере p — постоянная величина, отражающая вероятность наступления события A в каждом отдельно взятом эксперименте — P(A). Эта величина обладает следующими свойствами.

1. Если A равно нулю, то событие никогда не происходит и его вероятность равна нулю:

2. Если A включает в себя все возможные события, то исход наступает в каждом эксперименте, а его вероятность равна 1:

3. Если A и B — несвязанные события, то частота их объединения равна сумме частот наблюдений события A — N(A), и события B — N(B), а вероятность наблюдения их объединения будет равна сумме вероятности наступления каждого события по отдельности:

Однако этот же эксперимент можно рассмотреть и с позиции классического подхода. В таком случае эксперимент следует рассматривать как пространство элементарных событий S. Тогда для каждого события A, входящего в множество S, существует функция вероятности P(A), которая определяет вес A. Функция вероятности P(A) обладает следующими свойствами.

1. Ее величина находится в интервале от 0 до 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

2. Вероятность совокупности всех возможных элементарных событий равна 1:

P (S) = 1.

3. Если события A и B не пересекаются (их пересечение равно 0), то вероятность их объединения равна сумме вероятностей наступления каждого события по отдельности:

если А ∩ В = Ø, то Р(A ⋃ B) = Р(А) + Р(В)

Используя эти аксиомы, мы можем описать функцию вероятности. Для каждой серии взаимоисключающих исходов A₁, A₂, … вероятность объединения будет равна сумме вероятностей каждого исхода по отдельности:

Следует помнить, что вероятности различных событий могут суммироваться. То есть, чтобы измерить вероятность множества событий, мы можем разделить его на конечное число отдельных событий, измерить вероятность каждого по отдельности и суммировать результаты.

Если событие A случается во всех наблюдениях, его вероятность равна 1 (100%):

P(A) = 1, если A случается во всех наблюдениях.

Если событие A невозможно (не случается никогда), его вероятность равна нулю:

P(A) = 0, если A невозможно.

Используя этот подход, рассмотрим несколько примеров.

Вероятность противоположного

Рассмотрим событие A, представленное белым кругом на диаграмме Венна (рис. 2C). Давайте попробуем оценить вероятность противоположного события — Ā, которое означает, что событие A не наступит — оно обозначено синим на диаграмме Венна. Используя ранее обсуждавшиеся утверждения, мы можем сделать следующие заключения.

Вероятность наступления всех возможных исходов равна 1:

Р(S) = 1P(S) = 1. (I)

Событие A и противоположное ему являются взаимоисключающими, поэтому их общая вероятность равна сумме вероятностей каждого из этих событий:

A ∩ Ā = 0 и P(A ⋃ Ā) = P(A) + P(Ā) (II)

События A и Ā являются взаимоисключающими и исчерпывающими, поэтому их объединение включает в себя все пространство элементарных событий S:

(A ⋃ Ā) = S(A ⋃ Ā) = S (III)

Обобщив заключения I–III, можно сделать вывод о том, что поскольку вероятность S равна вероятности объединения событий A и Ā, которая, в свою очередь, равна сумме вероятностей каждого из этих событий, то сумма этих вероятностей равна 1:

1 = P(S) = P(A ⋃ Ā) = P(A) + P(Ā)

Таким образом, в таких условиях вероятность развития события может быть вычислена через вероятность противоположного исхода:

P(A) = 1– P(Ā)

Вероятность объединения

Рассмотрим два возможных события, A и B в множестве S (обозначены синим на диаграмме Венна, рис. 2A). Давайте оценим вероятность наступления какого-либо из двух исходов, A или B, которая, очевидно, равна вероятности их объединения. Существенной проблемой является пересечение A и B, потому что, просто сложив вероятности A и B, мы учтем исходы в области пересечения дважды, что неверно. Чтобы оценить вероятность пересечения точно, следует принять во внимание следующее.

Объединение A и B равно объединению A с областью пересечения противоположного события Ā и события B:

A ⋃ Ā = A ⋃ (Ā ∩ B)

В свою очередь, вероятность объединения A и B равна сумме вероятностей этих двух множеств:

P(A ⋃ Ā) = P(A) ⋃ P(Ā ∩ B) (I)

С другой стороны, B можно представить в виде объединения области пересечения A и B с областью пересечения пространства вне события A (Ā) и B:

B = (A ∩ B) ⋃ (Ā ∩ B)

P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) (II)

С помощью выражений I и II мы можем переписать уравнения и заменить их члены, чтобы представить вероятность объединения событий как сумму их вероятностей за вычетом вероятности их пересечения:

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Многократное подбрасывание монеты

Монету, вероятность выпадения как орла, так и решки у которой равна 0,5, подбрасывают несколько раз. Используя теорию вероятностей, можно доказать, что наверняка (с вероятностью, равной 1) рано или поздно орел выпадет.

Сначала можно оценить вероятность противоположного события — орел никогда не выпадет. Она равна пределу n (n стремится к бесконечности) вероятности того, что за первые n бросков орел не выпадет. Вероятность того, что будет выпадать только решка, равна ½n. Поскольку n стремится к бесконечности, значение этого уравнения стремится к нулю:

P(орел никогда не выпадет) = lim P(орел не выпадет в первые n бросков) = lim (2–n) = 0

Вероятность выпадения орла равна единице минус вероятность противоположного события (орел не выпадет), которая стремится к нулю. Таким образом, искомая вероятность равна:

P(орел выпадет) = 1 – P(орел не выпадет) = 1 – 0 = 1

Вероятность события, равная единице, означает, что орел рано или поздно выпадет.

Продолжительность жизни клеток

Последний пример демонстрирует применение теории вероятностей в биомедицинских исследованиях. Эксперимент состоит в измерении продолжительности жизни 200 клеток. Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2. Пример анализа продолжительности жизни клеток
Table 2. Lifetime of cells analysis example

Наша задача состоит в оценке вероятности того, что продолжительность жизни клетки составит ≤1500 ч. Сначала необходимо обозначить события: К — короткое, для исхода <1000 часов; C — среднее, для исходов в промежутке от 1000 до 1500 часов; Д — длинное, для исходов >1500 часов.

Чтобы оценить вероятность того, что продолжительность жизни составит ≤1500 часов, необходимо оценить вероятность объединения событий К и C, которая равна сумме их вероятностей, поскольку их пересечение равно нулю (взаимоисключающие события):

P(h ≤ 1500) = P(K ⋃ C) = P(K) + P(C) = 0,225 + 0,4 = 0,625

Обратите внимание, что события К, С и Д не только взаимоисключающие, но и исчерпывающие, а потому образуют разбиение пространства элементарных событий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой вводной статье мы представили краткий обзор области применения диаграмм Венна в современных клинических исследованиях. Следует отметить, что даже этот метод визуализации, который является классическим, продолжает активно развиваться. Мы рассмотрели базовые положения теории вероятностей, ее взаимосвязь с теорией множеств, а также применение диаграмм Венна для иллюстрации некоторых концепций. Несмотря на то что материал может показаться довольно абстрактным, он имеет критическое значение для понимания принципов статистического анализа, а диаграммы Венна нередко используют для иллюстрации в научных статьях.